रंगीत ठोकळ्यांचे कोडे 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 11 मार्च 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘वेगवेगळ्या प्रकारची मोजणी आपण गणितात करतो, आज त्याचे एक कोडे पाहू या..’ असे म्हणून मालतीबाईंनी एक कोडे मुलांना दिले. 

‘एक चौरस ठोकळा आहे. तो सगळ्या बाजूंनी रंगवला. मग त्याचे समान आकाराचे ६४ लहान ठोकळे केले. तर आपल्याला त्या ६४ ठोकळ्यांपैकी किती ठोकळ्यांना एका तरी पृष्ठभागाला रंग लागला आहे हे शोधायचे आहे.’ ‘म्हणजे ते सगळे ६४ ठोकळे सुटे करून पाहायचे का?’ नंदूने विचारले. ‘तसे केले तरी चालेल. आधी हे तुकडे कसे केले असतील ते ठरवू,’ बाई म्हणाल्या. ‘लांबी, रुंदी व उंची या प्रत्येक बाजूचे सुरीने समान तुकडे करू. समजा असे दोन तुकडे प्रत्येक बाजूचे केले, तर एकूण तुकडे किती होतील?’ (आकृती १ पहा) ‘तसे केले, तर एकूण आठ तुकडे होतील. कारण २ X २ X २ = ८, पण आपल्याला ६४ तुकडे हवेत, तर प्रत्येक बाजूचे चार समान तुकडे करायचे. कारण ४ X ४ X ४ = ६४ होतात,’ हर्षाने सांगितले. ‘शाबास, मग असे ६४ लहान ठोकळे झाले. त्यातल्या कितींना रंग लागला आहे? पायरी पायरीने ठरवा,’ बाईंची सूचना आली. शीतल म्हणाली, ‘वरचा आणि खालचा असे दोन थर प्रत्येकी १६ ठोकळ्यांचे काढू. ते सगळे रंग लागलेले ठोकळे आहेत. मग उरलेले पाहू.’ (आकृती २ पहा) ‘आता समोरासमोरचे दोन पृष्ठभाग प्रत्येकी आठ ठोकळ्यांचे काढू. हेदेखील रंग लागलेले आहेत. म्हणजे एकूण ३२ + १६ असे ४८ ठोकळे मिळाले. मग उरले दोन पृष्ठभाग, ज्यांच्यावर रंग लावलेले ठोकळे आहेत,’ सतीश म्हणाला. (आकृती ३ पहा) ‘आता त्या दोघांवर प्रत्येकी चार रंग लावलेले ठोकळे आहेत. ते काढले, तर आतले आठच ठोकळे उरतात ज्यांना मुळीच रंग लागलेला नाही,’ नंदू म्हणाला. ‘म्हणजे, ६४ - ८ = ५६ ठोकळे असे आहेत, ज्यांचा एक तरी पृष्ठभाग रंगीत आहे,’ हर्षाने उत्तर काढले. ‘आधी मोजलेले ३२ + १६ + ८ = ५६ हेदेखील ५६ ठोकळेच मिळाले रंग लागलेले,’ सतीश उत्तरला. 

‘बरोबर आहे दोघांचेही उत्तर. आपण अनेकदा पाहतो, की एकच मोजणी वेगवेगळ्या प्रकारांनी करता येते, उत्तर तेच येते पण मोजण्यात चूक होता कामा नये. आता आपण प्रश्‍न जरा बदलू. मोठा ठोकळा चार सेंटीमीटर लांबीचा आणि लहान ठोकळे अर्थात एक सेंटीमीटर लांबीचे आहेत असे मानू. रंग लावण्यासाठी एक सेंटीमीटर लांबीचे चौरस स्टिकर वापरायचे आहेत. मोठा ठोकळा असा रंगवण्यासाठी किती स्टिकर लागतील?’ बाईंनी विचारले. शीतल म्हणाली, ‘ते मोजण्यासाठी असा विचार करू. ८ कोपऱ्यांतील ठोकळ्यांचे प्रत्येकी ३ पृष्ठभाग रंगीत आहेत. त्यांच्यासाठी २४ स्टिकर; एकूण कडा १२, त्यातले कोपऱ्यांचे ठोकळे रंगले. मधले प्रत्येकी दोन ठोकळे दोन रंगीत पृष्ठभागांचे म्हणजे १२ X २ X २ असे ४८ स्टिकर आणि शेवटी प्रत्येक पृष्ठभागाचे मधले चार ठोकळे एकाच रंगीत पृष्ठभागाचे असे ६ X ४ X १ = २४ स्टिकर असे एकूण २४ + ४८ + २४ = ९६ स्टिकर हवेत.’ हे ऐकून नंदू म्हणाला, ‘पण हे तर अगदी सोप्या रीतीने करता येते! एकूण ६ पृष्ठभाग आहेत, प्रत्येक पृष्ठभागाला १६ स्टिकर हवेत. म्हणजे १६ X ६ देखील ९६ आले ना?’ 

‘शाबास! एक उदाहरण सोडवायला अनेक रीती असतात याचे आणखी एक उदाहरण!’ बाईंचे म्हणणे अर्थात सर्वांना पटले.

संबंधित बातम्या