चांदीच्या चकत्या आणि वजनं 

मंगला नारळीकर
बुधवार, 18 सप्टेंबर 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...
 

‘चांदीच्या चकत्यांचं एकदाच वजन करून हलक्या चकत्यांची पिशवी ओळखता आली का?’ मालतीबाईंनी विचारलं. ‘नाही जमलं आम्हाला ते. कारण आठ पिशव्या आहेत, त्यातल्या एकाच पिशवीत साडेनऊ ग्रॅम वजनाच्या चकत्या आहेत. बाकी सगळ्या पिशव्यांत दहा ग्रॅम वजनाच्या चकत्या आहेत. मग प्रत्येक पिशवीतल्या एका चकतीचं वजन करायला हवं,’ सतीश म्हणाला. ‘आता एकेका पिशवीतली चकती तपासताना कदाचित पहिल्या किंवा दुसऱ्या पिशवीत कमी वजनाची चकती निघाली, तर कमी वेळा वजन करावं लागेल. पण निदान सात वेळा तरी वजन करायची तयारी हवी. पहिल्या सात पिशव्यांत दहा ग्रॅम वजनाची नाणी असली, तर आठव्या पिशवीत हलकी नाणी असणार हे उघड आहे. पण सातपेक्षा कमी वेळा वजन करून काम होईल याची खात्री नाही,’ शीतलचं उत्तर होतं. ‘पण आजीनं तर एकदाच वजनकाटा वापरायची परवानगी दिली आहे!’ नंदूनं आठवण करून दिली. ‘मात्र त्यावेळी कितीही नाणी त्यावर ठेवता येतील हे सांगितलं आहे!’ हर्षानं आठवण करून दिली. आता मालतीबाईंनी सावकाश उलगडा केला. 

‘इथं आपण वेगळी युक्ती करायला हवी. एक हलकी चकती असेल तर तिचं वजन अर्ध्या ग्रॅमनं कमी म्हणजे साडेनऊ ग्रॅम असेल आणि दोन हलक्या चकत्यांचं वजन किती असेल?’ ‘ते सोपं आहे! ते असेल १९ ग्रॅम, कारण साडेनऊची दुप्पट आहे एकोणीस!’ नंदू म्हणाला. ‘आता तीन हलक्या चकत्यांचं वजन तीन चांगल्या चकत्यांपेक्षा किती कमी असेल?’ बाईंनी पुन्हा प्रश्न केला. हर्षानं उत्तर दिलं, ‘प्रत्येक हलकी चकती अर्धा ग्रॅम कमी म्हणून तीन हलक्या चकत्या वजनात तीन चांगल्या चकत्यांपेक्षा दीड ग्रॅम कमी असतील.’ ‘सहा चांगल्या चकत्या आणि सहा हलक्या चकत्या यांच्यात किती फरक असेल?’ बाईंचा हा प्रश्न आला, तेव्हा सतीश म्हणाला, ‘सहा हलक्या चकत्या तेवढ्याच चांगल्या चकत्यांपेक्षा वजनात तीन ग्रॅम कमी भरतील. चांगल्या चकत्या ६० ग्रॅम तर हलक्या ५७ ग्रॅम असतील.’ ‘याचाच उपयोग करून उत्तर काढता येतं आपल्या कोड्याचं! पिशव्या ओळीत मांडा. मग पहिल्या पिशवीतून एक चकती, दुसऱ्या पिशवीतून दोन चकत्या, तिसरीतून तीन चकत्या, चौथीतून चार चकत्या अशा क्रमानं चकत्या काढून घ्या. आठव्या पिशवीतून आठ चकत्या काढल्या, की एकूण किती चकत्या काढल्या?’ बाईंनी विचारलं. ‘आम्हाला सूत्र माहीत आहे त्याचं! ८ आणि ९ यांचा गुणाकार करून त्याला २ नं भागायचं, म्हणजे ३६ चकत्या मिळतील एकूण!’ शीतल म्हणाली. ‘आता या ३६ चकत्यांचं वजन केलं, की समजेल कोणत्या पिशवीत हलक्या चकत्या आहेत ते! सगळ्या चांगल्या चकत्या असत्या तर वजन झालं असतं ३६० ग्रॅम. पण ते कमी भरणार कारण एका पिशवीतून हलक्या चकत्या आल्या. वजन ३६० पेक्षा दोन ग्रॅम कमी असेल, तर चौथ्या पिशवीतल्या चार चकत्या हलक्या आहेत, अडीच ग्रॅम कमी असेल, तर पाचव्या पिशवीत हलक्या चकत्या आहेत,’ बाईंनी उत्तर सांगितलं. ‘आणि ३६० पेक्षा अर्धाच ग्रॅम कमी वजन असेल, तर पहिलीच पिशवी हलक्या चकत्यांची!’ नंदू म्हणाला. ‘पण आता या ३६ चकत्यांमधून हलक्या चकत्या वेगळ्या करायला जास्त वेळा वजन करावं लागेल ना?’ हर्षानं विचारलं. ‘होय! पण तो वेगळा प्रश्न आहे. हलक्या चकत्या किती आहेत हे एकदा वजन करून समजेल,’ बाई म्हणाल्या. 

‘वजन करायच्या कोड्यावरून आर्किमिडीजच्या गोष्टीची आठवण झाली. राजासाठी सोन्याचा मुकुट बनवला होता, त्यात शुद्ध सोनंच होतं की दुसरा हिणकस धातू मिसळून तेवढ्याच वजनाचा मुकुट बनवला आहे हे ओळखायचं होतं. आर्किमिडीज आंघोळीसाठी बाथटबमध्ये शिरला, तेव्हा थोडं पाणी बाहेर पडलं, ते पाहून त्याला उत्तर सुचलं की वस्तूचं वजन व आकार या दोन्हींचा संबंध बाहेर पडणाऱ्या पाण्याशी असतो. एकाच वजनाची सोन्याची वस्तू आणि दुसऱ्या धातूची वस्तू घेतली तर पाण्यानं भरलेल्या भांड्यात  बुडवल्यावर सोन्याची वस्तू कमी पाणी सांडेल. कारण सोनं हा सर्वांत जड धातू आहे,’ शीतलनं आर्किमिडीजची गोष्ट सांगितली. ‘वजन किंवा इतर अनेक गोष्टींची मोजणी करून गणित आणि विज्ञान सहकार्य करत विविध नियम शोधून काढतात. विज्ञानाच्या प्रगतीत गणित आवश्यक असतं, तर विज्ञानामुळं गणिताच्या नव्या शाखा निर्माण होतात,’ बाईंनी सांगितलं.

संबंधित बातम्या