सत्यासत्यतेचं कोष्टक 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 23 सप्टेंबर 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

आज सतीशनं एक कोडं आणलं होतं, मुलं आल्याबरोबर ते त्यानं सांगितलं... ‘कागदाची तीन एकसारखी; पण वेगवेगळ्या रंगांची पाकिटं आहेत. एक पांढरं, एक निळं आणि एक पिवळ्या रंगाचं आहे. एका पाकिटात २ हजार रुपयांची नोट आहे, तर दुसऱ्या दोन पाकिटांत नोटेच्या आकाराचे साधे कागद. प्रत्येक पाकिटावर एकेक विधान लिहिलेलं आहे, ते सहज वाचता येतं - 
पांढऱ्या पाकिटावर लिहिलं आहे - निळ्या पाकिटात साधा कागद आहे. 
निळ्या पाकिटावर लिहिलं आहे - पिवळ्या पाकिटात नोट आहे. 
पिवळ्या पाकिटावर लिहिलं आहे - या पाकिटात साधा कागद आहे. 

या तीनपैकी एकाच पाकिटावर सत्य विधान आहे, तर दोन पाकिटांवर असत्य विधानं आहेत. हे समजल्यावर तुम्ही कोणत्या पाकिटात नोट आहे हे ओळखू शकाल?’ 

(इथं चित्र तयार करून द्यावं, तीन दिलेल्या रंगांची पाकिटे आणि शक्य असल्यास त्यांच्या वर लिहिलेली विधाने. मात्र विधाने योग्य रंगाच्या पाकिटावर द्यावीत, अन्यथा विधाने वाचता आली नाहीत तरी चालेल) 

‘इथं तर्कशुद्ध विचार अपेक्षित आहे. सावकाश विचार करत सोडवू. पांढऱ्या पाकिटावरचं विधान खरं असेल, तर दुसरी दोन विधानं खोटी असायला हवीत. ते शक्य आहे का?’ बाईंनी प्रश्न केला. हर्षाच्या लक्षात आलं, ‘निळ्या पाकिटावर लिहिलंय की पिवळ्या पाकिटात नोट आहे आणि पिवळ्या पाकिटावर लिहिलंय त्यात साधा कागद आहे, म्हणजे नोट नाही. यातलं एक खरं असणार आणि एक खोटं. पण दोन्ही विधानं खोटी असू शकणार नाहीत.’ ‘मग पांढऱ्या पाकिटावर लिहिलेलं खोटं असणार, होय ना?’ सतीशनं विचारलं. ‘मग निळ्या पाकिटात नोट आहे का? मला निळा रंग आवडतो! हे छान झालं,’ नंदू म्हणाला. ‘पण अजून तपासायला हवं. निळ्या पाकिटावर लिहिलेलं खोटं आहे, कारण पिवळ्या पाकिटात नोट नाही. पिवळ्या पाकिटावर लिहिलेलं मात्र खरं आहे. कारण त्यात खरंच नोट नाही. म्हणजे कोड्यात अट आहे, त्याप्रमाणं एक विधान सत्य तर दोन विधानं असत्य आहेत असं ठरतं. तेव्हा हेच उत्तर बरोबर! नंदू तुझ्या निळा रंग आवडण्याला इथं काही महत्त्व नाही बरं का!’ इति शीतल. 

‘बरोबर तर्क करत सोडवलं तुम्ही हे कोडं. पण कधी कधी कोड्याच्या अटी गुंतागुंतीच्या असतात आणि तर्क शुद्ध विचार करत, दिलेल्या अटी पाळत ते सोडवणं किचकट असू शकतं. अशा वेळी सत्यासत्यतेचं म्हणजेच खऱ्या-खोट्याचं कोष्टक किंवा टेबल करणं सोयीचं असतं. आपण ते पाहू...’ असं म्हणून बाईंनी कागदावर असं कोष्टक काढलं.  

‘हे पाहा, तीन उभे कॉलम आहेत. पांढऱ्या पाकिटात नोट, निळ्या पाकिटात नोट आणि पिवळ्या पाकिटात नोट असण्यासाठी एकेक कॉलम आहे. त्यात सत्यासाठी किंवा खरं म्हणजे शक्यतेसाठी T, तर अशक्यतेसाठी F अशी अक्षरं लिहायची. T for true or possible and F for false or impossible. दिलेल्या माहितीनं प्रत्येक आडवी ओळ भरू या...’ असं म्हणून बाईंनी पहिली ओळ लिहिली. मग सतीश आणि नंदूनं दुसरी, निळ्या पाकिटावरील विधानाची ओळ भरली, तर शीतलनं आणि हर्षानं तिसरी ओळ भरली. 

बाईंनी दाखवून दिलं, ‘आता प्रत्येक उभ्या कॉलममध्ये पाहा. अट दिली आहे, की एक विधान सत्य आणि दोन असत्य आहेत. कोणत्या कॉलममध्ये सत्याचा एक T आणि असत्याचे दोन F आहेत?’ नंदू म्हणाला, ‘निळ्या पाकिटात नोट असणाऱ्या कॉलममध्ये एक T आणि दोन F आहेत, म्हणून निळ्या पाकिटात नोट आहे! दुसऱ्या दोन्ही कॉलममध्ये दोन T आणि एक F आहेत, म्हणून ते बरोबर नाहीत, होय ना? ही रीत मला आवडली. जर असं असेल तर काय होईल, तसं असेल तर काय होईल असा विचार करत बसण्यापेक्षा हे सोपं आहे!’ ‘तुम्ही पाकिटांवर लिहिलेली विधानं बदलून नवीन कोडं करून ते सुटतं का हे सत्यासत्यतेच्या टेबलवरून पाहू शकता,’ बाईंनी मुलांना नवीन कोडी तयार करायला प्रोत्साहन दिलं. 

संबंधित बातम्या