मजेदार कोडी 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 25 नोव्हेंबर 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

हर्षानं आज नंदूला एक कोडं घातलं.. ‘समजा तू एक बस चालवतो आहेस. सुरुवातीला बसमध्ये ५ माणसं चढली. पहिल्या स्टॉपवर त्यातली एक व्यक्ती उतरली, ३ नवी माणसं चढली. दुसऱ्या स्टॉपवर २ माणसं उतरली, ४ चढली. तिसऱ्या स्टॉपवर एकदम ६ जण चढले, १ उतरला. चौथ्या स्टॉपवर ७ माणसं उतरली आणि ३ चढली. पाचवा स्टॉप शेवटचा होता, तिथं सगळेच उतरले; तर सांग की ड्रायव्हरचं वय काय होतं?’ तो म्हणाला, ‘मला माहीत आहे हे कोडं! मीच ड्रायव्हर आहे हे विसरलो नाही मी या सगळ्या माणसांच्या चढण्या-उतरण्यात! ड्रायव्हरचं वय म्हणजे माझंच वय, ते आहे ९ वर्षं!’ 

‘शाबास! पण पहिल्या वेळेला हे कोडं ऐकलंस तेव्हा काय झालं?’ बाईंनी विचारलं. ‘तेव्हा मी त्या माणसांचा हिशेब करत बसलो आणि त्यात मी ड्रायव्हर आहे हेच विसरलो!’ नंदूनं कबूल केलं. 

‘प्रश्न सोडवताना दिलेली माहिती लक्ष देऊन व्यवस्थित वापरावी लागते. याचं हे एक उदाहरण आहे. आपण आणखी उदाहरणं पाहू. आपण पूर्वी काही वजन करण्याची कोडी पाहिली. आता हे कोडं पाहा. ६ सारखे दिसणारे चेंडू आहेत. त्यातले ५ एकाच वजनाचे असून एकच थोड्या वेगळ्या वजनाचा आहे. मात्र तो जास्त हलका आहे, की जड हे माहीत नाही. तो हलका आहे की जड हे तराजू वापरून ठरवायचे आहे. पण तराजू दोनच वेळा वापरता येतो. कसं करणार?’ बाईंनी विचारलं. सतीश कोडं सोडवू लागला... ‘एक चेंडू एका पारड्यात आणि त्याच्या तुलनेत एकेक चेंडू घेतला, तर ४ किंवा ५ वेळा तराजूनं तोलावं लागेल. कारण वेगळा चेंडू केव्हा हातात येईल हे सांगता येत नाही.’ ‘तीन तीन असे दोन भाग करून तोलले, तर एक पारडं खाली आणि एक वर असेल. पण कोणत्या पारड्यात वेगळा चेंडू आहे हे सांगता येत नाही. शिवाय तो हलका आहे की जड हे ओळखायला अजून एकदाच तराजू वापरायचा!’ हर्षानं प्रयत्न केला. ‘दोन दोन दोन असे तीन भाग करून पाहू. कोणतेही दोन भाग दोन पारड्यात ठेवून पाहू. तेव्हा पारडी एक वर एक खाली अशी असली, तर त्यातल्याच एका पारड्यात वेगळा चेंडू आहे. पण तो ओळखणं सोपं नाही, आणखी एकाच तोलण्यात कसा ओळखणार?’ शीतलनं तिचा प्रयत्न केला. 

बाई म्हणाल्या, ‘तुझा विचार बरोबर मार्गानं आहे. पण कोणता चेंडू वेगळा आहे हे शोधायचं नाही, तर तो इतरांपेक्षा हलका आहे की जड एवढाच निर्णय करायचा आहे. इथं उरलेले दोन चेंडू चांगले असणार याचा उपयोग कर.’ 

आता शीतलची ट्यूब पेटली. ती म्हणाली, ‘आता कोणत्याही एका पारड्यातले २ चेंडू आणि उरलेले २ यांची तुलना करू. त्या जोड्या समान वजनाच्या असल्या, तर काढून ठेवलेल्या जोडीत वेगळा चेंडू आहे. सुरुवातीला ती जोडी वर असेल तर वेगळा चेंडू हलका आहे. वेगळा चेंडू असलेली जोडी प्रथम खाली गेली असेल, तर वेगळा चेंडू जड आहे.’ 

‘पण सुरुवातीच्या दोन्ही जोड्या सारख्या वजनाच्या निघाल्या, तर?’ नंदूनं विचारलं. 

‘तर मग उरलेल्या जोडीत वेगळा चेंडू आहे. पहिल्या दोन्ही जोड्या समान आणि चांगल्या चेंडूंच्या आहेत. उरलेल्या जोडीची तुलना एका चांगल्या जोडीशी केली, की आपल्याला वेगळा चेंडू हलका की जड हे समजेल!’ शीतलनं उत्तर पूर्ण केलं. 

‘शाबास! इथं आपल्याला काय शोधायचं आहे हे लक्षात घ्या. केवळ वेगळा चेंडू हलका की जड एवढंच शोधायचं आहे. तो कोणता चेंडू आहे हे शोधायचं काम दिलेलं नाही. आता सांगा, हेच कोडं जर १८ चेंडू असताना दिलं, तर कसं सोडवाल?’ बाईंचा प्रश्न आला. 

‘तीन सारखे भाग ६-६ चे करून हीच रीत वापरता येईल ना?’ नंदूनं विचारलं. 

‘हो! आणि जर २९ चेंडू असतील, तर?’ बाईंनी पुढचा प्रश्न विचारला. 

‘तर १०, १० आणि ९ असे भाग करू आणि ९ चेंडूंचा भाग मागं ठेवून १०-१० चे भाग दोन पारड्यांत ठेवू,‘ हर्षा म्हणाली. 

‘ती पारडी वर-खाली झाली, तर?’ शीतलचा प्रश्न आला. 

‘मग गोंधळ होणार. कारण उरलेले ९ चेंडू चांगले आहेत तरी वेगळा चेंडू हलका की जड हे एका तोलण्यात नाही समजणार!’ हर्षानं कबूल केलं. 

‘आपण ९, ९ आणि ११ असे २९ चे भाग करू आणि ११ चा भाग मागं ठेवून ९, ९ चे भाग दोन पारड्यांत ठेवू. समान वजनाचे असले, तर वेगळा चेंडू ११ च्या भागात आहे तो भाग या चांगल्या १८ मधले ११ घेऊन त्यांच्या बरोबर तोलू. पहिल्या तोलण्यात पारडी वर-खाली झाली, तर उरलेले ११ चांगले आहेत, त्यातल्या ९ ची तुलना पहिल्या एका संचाशी करू,’ आता सतीशनं उत्तर पूर्ण केलं. 

शीतलनं आणखी विश्लेषण केलं, ‘कितीही मोठ्या संख्येत चेंडू असले, तर या कोड्यासाठी जमल्यास संख्येचे तीन समान भाग करू. ते जमले नाही तर दोन समान भाग आणि तिसरा किंचित मोठा चालेल. मग समान भाग तराजूत ठेवून अशाच पद्धतीनं हे कोडं सोडवता येईल.’ 

बाईंनी मुलांना शाबासकी दिली.

संबंधित बातम्या