भागाकार, बाकी यांच्या गमती  

मंगला नारळीकर
सोमवार, 9 डिसेंबर 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

हर्षानं एक मजेदार कोडं आणलं... ‘एक माणूस सायकलवरून बागेतील गोल रस्त्यावरून चकरा मारतो आहे, तर दुसरा धावत तशाच फेऱ्या मारतो आहे. सायकल चालवणारा चार मिनिटात फेरी पुरी करतो, तर धावणारा फेरी पुरी करायला सहा मिनिटं घेतो. सुरुवातीला ते दोघं एका खांबापासून निघाले, तर पुन्हा त्या खांबाजवळ किती मिनिटांनी भेटतील?’ ‘सोपं आहे! मला जमेल!’ असं नंदू म्हणाला, ‘सायकलवाला पहिली फेरी ४ मिनिटांनी, दुसरी ८; तर तिसरी १२ मिनिटांनी पुरी करेल. धावणारा १२ मिनिटांत दोन फेऱ्या पुऱ्या करून तेव्हाच तिथं येईल. म्हणजे १२ मिनिटांनी दोघं सुरुवातीच्या खांबाजवळ भेटतील.’ 

‘शाबास! हा प्रश्न खरोखर लसावि शोधण्याचा आहे हे ध्यानात आलं का?’ मालतीबाईंनी विचारलं. 

सतीश म्हणाला, ‘हो! कारण सायकलवाला ४ मिनिटं घेतो, त्याची प्रत्येक फेरी ४ च्या गुणिताएवढा वेळ घेते, तर धावणारा ६ मिनिटं घेतो आणि त्याची प्रत्येक फेरी ६ च्या गुणिताएवढा वेळ घेते. चारच्या गुणिताला चारनं विभाज्य संख्या असंदेखील म्हणतात. म्हणून आपल्याला ४ आणि ६ चा लसावि हवा आहे.’ 

‘आता हे कोडं पाहा!’ शीतलनं सुरुवात केली, ‘एका टोपलीत पेरू आहेत, मुलांना वाटताना चार मुलांना सारखे वाटले, तर दोन पेरू उरतात. पाच मुलांना सारखे वाटले, तरीही दोन पेरू उरतात. तर टोपलीत किती पेरू असतील?’ ‘हेदेखील लसावि शोधण्याचं गणित आहे ना? चार आणि पाच यांचा लसावि वीस आहे, त्यात दोन मिळवले, की बावीस हे उत्तर मिळतं.’ सतीशनं उत्तर काढलं. ‘शिवाय त्यात वीस किंवा वीसचा गुणित म्हणजे ४०, ६० , ८० अशी संख्या मिळवली तरी चालेल. म्हणजे ४२, ६२, ८२ ही उत्तरंदेखील चालतील. २२ हे सर्वांत लहान उत्तर आहे,’ शीतलनं सांगितलं. 

‘आता जरा अवघड प्रश्न पाहा. दिलेल्या कोणत्याही संख्येनं भाग दिला, तर समान बाकी असणारी संख्या तुम्ही लसाविच्या मदतीनं शोधू शकता. आता दोन संख्या दिल्या आणि त्यांनी भाग दिल्यावर वेगवेगळ्या बाकी उरत असल्या, तर ती संख्या शोधता येईल का? उदाहरणार्थ ६ नं भागल्यावर बाकी येते १ आणि ७ नं भागल्यावर बाकी येते ३, अशी संख्या शोधता येते का पाहा!’ बाईंनी प्रश्न दिला. 

मुलं थोडा वेळ विचार करत होती. कागदावर काही संख्या लिहून पाहात होती. हर्षानं उत्तर काढलं, ‘एकतीस!’ ‘बरोबर. पण तू हे उत्तर कसं शोधलंस?’ बाईंनी विचारलं, तेव्हा हर्षानं सांगितलं, ‘६ च्या पाढ्यातील संख्या तपासत, त्यात १ मिळवून आलेल्या संख्येला ७ नं भागून बाकी ३ येते का पाहत होते. तर ३१ ही संख्या सापडली. कारण ७ नं ३१ ला भागलं, की बाकी ३ मिळते.’ 

‘शाबास! ही संख्या-तपासणीची रीत झाली. मोठ्या संख्या असल्या, तर यात बराच वेळ जातो. आपण भागाकार केल्यावर उरणारी बाकी दाखवण्यासाठी एक गणिती पद्धत वापरू शकतो. ३४ ≡ ४ (५) हे समीकरण पाहा. याचा अर्थ आहे ३४ ला ५ नं भागलं, तर बाकी ४ उरते. इंग्रजीमध्ये ‘34 is congruent to 4 modulo 5’ असं हे वाचतात. आपल्याला n ही संख्या अशी शोधायची आहे, की 
n ≡ 1 (6) आणि n ≡ 3 (7). हर्षानं ही संख्या सहाच्या पाढ्याची तपासणी करून शोधली. संख्याशास्त्रातील हे एक प्रसिद्ध प्रमेय आहे. m आणि n या दोन सहमूळ संख्या असतील म्हणजेच त्यांच्यामध्ये सामाईक अवयव किंवा कॉमन फॅक्टर नसेल, तर a आणि b या कोणत्याही संख्या घेतल्या, तरी m नं भागल्यावर बाकी a उरेल आणि n नं भागल्यावर बाकी b उरेल अशी संख्या s शोधता येते. म्हणजेच s ≡ a (m) आणि 
s ≡ b (n) अशी संख्या s मिळू शकते. याला ‘बाकीचे चिनी प्रमेय’ म्हणतात कारण हे चिनी लोकांनी फार पूर्वी शोधलं आणि वापरलं होतं. तुम्ही m, n यासाठी ७ आणि ८ तसंच a, b साठी २ आणि ५ या संख्या घेऊन s शोधा.’ 

‘आम्हाला त्याची सिद्धता समजू शकेल का?’ सतीशनं विचारलं. ‘समजेल की! पुढच्या वेळेला सांगेन. तोपर्यंत m, n आणि a, b यांच्यासाठी वेगवेगळ्या संख्या घेऊन हे विधान तपासून पाहा,’ बाईंनी मुलांना काम दिलं.

संबंधित बातम्या