बाकीचं चिनी प्रमेय 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 16 डिसेंबर 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...
 

‘गेल्या वेळेला सांगितलं ते चिनी प्रमेय घड्याळाच्या मदतीनं लवकर समजतं असं वाटतं,’ शीतल म्हणाली. ‘बरोबर आहे तुझं. आपण एखाद्या संख्येला भाजकानं भागलं की जी बाकी उरते, तिचा विचार भाजकाएवढे तास असलेल्या घड्याळाच्या मदतीनं करू शकतो. नेहमीचं घड्याळ १२ तासांचं असतं, त्यात केव्हाही ० ते ११ वाजलेले दिसतात, १२ म्हणजे शून्य वाजले असं समजायचं. आता तू सांग बाकीचं चिनी प्रमेय घड्याळाच्या मदतीनं...’ मालतीबाई म्हणाल्या. 

शीतल सांगू लागली, ‘सुरुवातीपासून कितीही वेळ गेला असला, तरी १२ नं भागून उरलेली बाकी घड्याळात दिसते. तर m आणि n असे तास असलेली घड्याळं एका वेळी म्हणजे शून्य प्रहरी चालू केली, तर एका वेळेला पहिल्या घड्याळात a तास आणि दुसऱ्यात b तास झालेले केव्हातरी दिसतील का? दिसले, तर प्रथम केव्हा दिसतील? चिनी प्रमेयाप्रमाणं याचं उत्तर मिळतं होय ना?’ ‘बरोबर सांगितलंस, शाबास. मात्र इथं m आणि n सहमूळ किंवा कोप्राइम असले पाहिजेत. तर याचं उत्तर मिळवायची रीत पाहू. m ची गुणितं, m 2m, 3m अशी तपासा. एक गुणित km असं मिळेल की त्याला n नं भागून बाकी १ मिळेल. तसंच n ची गुणितं तपासून hn असं गुणित मिळेल की त्याला m नं भागून बाकी १ मिळेल,’ बाई सांगत गेल्या. 

नंदूनं तक्रार केली, ‘हे अक्षरांचं गणित समजायला कठीण आहे. प्रत्यक्ष संख्या का घेत नाही?’ बाई हसून म्हणाल्या, ‘बरोबर आहे तुझं. आपण ९ आणि १० या संख्या घेऊ, त्या सहमूळ आहेत. ९ आणि १० तासांची घड्याळं करू, तू सांग त्यात किती वाजले पाहिजेत ते!’ तो म्हणाला, ‘९ तासांच्या घड्याळात ४ आणि १० तासांच्या घड्याळात २ वाजले पाहिजेत.’ ‘९ ची गुणितं तपासून पाहा, ८१ ला १० नं भागले, की बाकी १ येते. तसंच १० ची गुणितं पाहिली, तर १० लाच ९ नं भागून बाकी १ येते. आपल्याला अशी संख्या हवी, की तिला ९ नं भागून बाकी ४ आणि १० नं भागून बाकी २ यायला हवी. ८१ आणि १० या संख्या त्यासाठी मदत करतील. १० हा १० चा गुणित आहे, ९ नं भागलं तर बाकी १ येते, १० ला ४ नं गुणलं की ४० मिळाले. त्याला १० नं पूर्ण भाग जातोच, शिवाय ९ नं भागून बाकी ४ येते. ८१ हा ९ चा गुणित आहे पण १० नं भागून बाकी १ देतो. त्याला २ नं गुणून १६२ मिळतात. हा ९ चा गुणित आहे, शिवाय १० नं भागून बाकी २ मिळते. आता १६२ + ४० = २०२ ही संख्या आपल्याला हवं ते उत्तर देते. भागाकार करून पाहा,’ बाई म्हणाल्या. 

सतीशनं भागाकार केले... ‘आधी ९ नं भागू या. १६२ ला ९ नं भाग जातो म्हणून फक्त ४० भागले, तरी बाकी मिळेल. ती ४ आहे. तसंच २०२ ला १० नं भागलं किंवा १६२ ला भागलं, तरी बाकी २ येते. म्हणजे २०२ ही संख्या आपल्याला हवी तशी मिळाली.’ ‘एवढी एकच अशी संख्या आहे का?’ हर्षानं विचारलं. ‘चांगला प्रश्न विचारलास,’ बाई म्हणाल्या. ‘या संख्येत ९x१० = ९० ची गुणितं मिळवली किंवा तिच्यातून  वजा केली, तर मिळणाऱ्या संख्यादेखील आपल्या अटी पूर्ण करतात, कारण ९० ला ९ आणि १० दोन्हींनी भाग जातो. म्हणून २०२ – १८० = ४२ ही संख्या आपण घेऊ. दोन्ही घड्याळं बरोबर चालू केली, तर ४२ तासांनी ९ तासांच्या घड्याळात ४ आणि १० तासांच्या घड्याळात २ वाजलेले असतील. हे त्यानंतर प्रत्येक ९० तासांच्या अंतरानं होत राहील. आता तुम्ही ९ आणि १० ऐवजी कोणत्याही सहमूळ किंवा कोप्राइम संख्या आणि त्यांच्यापेक्षा लहान बाकी म्हणजे घड्याळात किती वाजले त्या संख्या घ्या आणि हे गणित सोडवून पाहा. चिनी लोकांनी हे प्रमेय फार पूर्वी सोडवलं होतं, म्हणून त्यांचं नाव याला दिलंय.’ 

‘कोणत्याही दोन सहमूळ संख्या घेतल्या, तर एकीचा गुणित असा मिळतो का, की त्याला दुसऱ्या संख्येनं भागलं तर बाकी १ येते?’ शीतलनं विचारलं. ‘छान प्रश्न विचारलास. हे प्रमेयच आहे आणि तू कॉलेजमध्ये उच्च बीजगणित शिकलीस, तर त्याची सिद्धता सहज समजेल. पण सध्या ते प्रमेय सत्य आहे हे मानून तुम्ही वेगवेगळ्या संख्या घ्या आणि उत्तरं मिळवा...’ बाईंनी त्यांना काम दिलं.

संबंधित बातम्या