सात पुलांच्या कोड्याचं उत्तर 

‘आजी, आज त्या पुलांच्या कोड्याचं उत्तर सांगणार आहेस ना?’ नंदूनं सुरवातीलाच विचारलं. 

‘होय तर! आपण आधी ते सात पुलांचं चित्र पाहू या..’ मालतीबाई म्हणाल्या. 

‘आम्हाला ते चांगलं पाठ झालं आहे आता. कारण आम्ही बरेच मार्ग त्यावरून तयार केले, पण प्रत्येक पूल एकदा आणि एकदाच ओलांडावा लागेल असा मार्ग काही सापडला नाही,’ असं  सतीश म्हणाला. 

‘आपण आता त्या प्रश्‍नाचा सममूल्य किंवा equivalent problem तयार करू या. गणित सोडवताना कधी कधी असा सममूल्य प्रश्‍न तयार करून सोडवणं सोपं जातं. आपल्या कोड्यात जमिनीवर चालणं किती होतं आहे हे किंवा पाणी महत्त्वाचं नाही. जमिनीचा भाग आणि पूल यांचाच विचार करायचा आहे. म्हणून तेच कोडं अशा रूपात देता येईल,’ असं म्हणून बाईंनी हे चित्र काढलं. ‘यात जमिनीचे भाग ठिपक्‍यांनी दाखवले आहेत, तर पूल वक्र रेषांनी दाखवला आहे. कोडं सोडवायला ही माहिती पुरेशी आहे,’ शीतलनं कबूल केलं. 

‘आता ऑयलरनं कसा विचार केला ते पाहा. कोणताही मार्ग घेतला, तरी काही गोष्टी समान आढळतात. कालचे दोनही मार्ग पाहू या. ते असे होते... A .... १ .... C .... ५ .... B .... ६ .... D .... ३ .... A .... २ .... C .... ४ .... B .... आणि D .... ३ .... A .... २ .... C .... ५ .... B .... ६ .... D .... ७ .... C .... १ .... A .... यात कोणत्याही जमिनीकडं जाताना एक पूल ओलांडावा लागतो, तर तिथून दुसरीकडं जाताना दुसरा पूल ओलांडावा लागतो हे लक्षात आलं का?’ बाईंच्या प्रश्‍नाला नंदू लगेच म्हणाला, ‘त्यात काय अवघड आहे? ते तर कुणालाही सहज दिसतं आहे.’ ‘पण त्याचाच उपयोग करून ऑयलरनं कोडं कसं सोडवलं पाहू.. आपला कोणताही मार्ग पाहा, त्यात जमिनीचा भाग मधे कुठंही आला तर प्रत्येकासाठी दोन पूल ओलांडले जातात. फक्त सुरवातीचा आणि अखेरचा भूभाग याला अपवाद आहे,’ इति बाई. ‘हे पण सोपं आहे, काही विशेष नाही,’ इति नंदू. 

‘याचा अर्थ असा, की सुरवातीचा आणि अखेरचा जमिनीचा भाग सोडला, तर जमिनीच्या कोणत्याही भागाला जोडणारे सम संख्येचे पूल ओलांडले जाणार तेव्हा अशा भागाला जोडणारे पूल सम संख्येत असले पाहिजेत. उदाहरणार्थ आपल्या पहिल्या मार्गात A दोन वेळा आला, त्याचे चार पूल ओलांडले, तर D एकदाच आला. त्याचे दोन पूल ओलांडले. त्याचा तिसरा पूल राहिला..’ बाईंच्या या म्हणण्यावर जरा निरीक्षण करून मुलांनी हे मान्य केलं. ‘याचाच परिणाम म्हणून ऑयलरनं लक्षात आणून दिलं, की कोणताही मार्ग तयार केला, तर सुरवातीचा आणि अखेरचा हे दोन भूभाग सोडल्यास इतर भूभागांना जोडणारे पूल सम संख्येत असले, तरच कोडं सोडवणं शक्‍य होईल अन्यथा नाही. आपल्या कोड्यात प्रत्येक भूभागाला जोडणारे पूल किती आहेत मोजा बरं!’ बाईंचं म्हणणं ऐकून मुलांनी ती मोजणी चटकन केली. 

हर्षा म्हणाली, ‘A, B आणि D या प्रत्येकाला जोडणारे पूल तीन आहेत; तर C ला जोडणारे पूल पाच आहेत. चारही जमिनींच्या भागांना विषम संख्येचे पूल जोडले आहेत.’ ‘त्यातले दोन भाग सुरवातीला किंवा अखेरीला असे आले, तरी उरलेले दोन कुठेतरी मधेच येणार म्हणून सगळे पूल ओलांडले जाणार नाहीत,’ शीतलनं सिद्धता पुरी केली. ‘साधं निरीक्षण आणि सम संख्यांची बेरीज सम संख्याच असते, या सोप्या गोष्टीचा उपयोग करून ऑयलरनं  हे कोडं सोडवलं. तुम्ही अशा प्रकारचं कोडं पाहिलं असेल,’ असं म्हणून बाईंनी चित्र काढून दाखवलं.  

‘हो, हो आम्ही एकमेकांना हे कोडं घातलं आहे. पेन्सिल न उचलता आणि कोणतीही रेष परत न गिरवता कुणालाच हे चित्र काढता येत नाही,’ सतीश म्हणाला. ‘या वक्र रेषा आपल्या पुलांच्या सारख्या आहेत. कोणतीही रेष एकदा आणि एकदाच काढायची म्हणजे तो पूल एकदा आणि एकदाच ओलांडायचा. आता तुम्ही अशा प्रकारची आणखी कोडी तयार करा, काही सोडवता येणारी, तर काही न सोडवता येणारी. कोणती सोडवता येत नाहीत ते ऑयलरच्या नियमावरून ठरवा. उरलेली तुम्ही सोडवून पाहा,’ बाईंनी मुलांना आवडीचा उद्योग दिला.