... जादू उलगडली 

मंगला नारळीकर
मंगळवार, 11 जून 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘तुम्ही अनेक अंकांची त्रिकुटं घेऊन गेल्या वेळी दिलेली गंमत तपासून पाहिली का?’ मालतीबाईंनी विचारलं. ‘हो. ३४५, ८०६, २८९ अशी अनेक त्रिकुटं घेऊन त्याच क्रिया केल्या. उदाहरणार्थ, ५४३ - ३४५ = १०८, त्याचे उलट अंक घेऊन ८९१, नंतर १९८ + ८९१ = १०८९ हेच उत्तर अखेर येतं. मला तर १०८९ ही संख्या जादूची आहे असं वाटतं आहे,’ नंदू म्हणाला. बाई शीतलला म्हणाल्या, ‘तुला बीजगणित वापरून या नियमाचा उलगडा होतो का हे पाहायला सांगितलं होतं त्याचं काय झालं?’ शीतलनं तिचं लिहून आणलेलं काम दाखवलं, ‘तीन अंकी संख्या विस्तारित रूपात अक्षरं वापरून १००अ + १०ब + क अशा रीतीनं लिहिता येते. अ, ब, क हे ० ते ९ यापैकी अंक आहेत. अ आणि क समान नाहीत. मग उलट्या क्रमानं अंक लिहिले, तर ती संख्या १००क + १०ब + अ अशी होते. समजा अ हा क पेक्षा मोठा असेल तर या संख्यांची वजाबाकी ९९अ - ९९क = ९९(अ - क) अशी मिळते. (अ - क) ही संख्या १ ते ८ यापैकी आहे. इथं मला पुढं काय करावं सुचेना. पण मग या आठही संख्यांच्या वर अंक उलटण्याची क्रिया करून दोन्हीची बेरीज केली, तर १०८९ हीच संख्या मिळते, हे बेरजा करून पाहिलं.’ 

‘शाबास! तुला चिकाटी धरून बरोबर उत्तर मिळवता आलं. सुरुवातीची तीन अंकी संख्या कोणतीही असली, तरी वजाबाकी करून झाल्यावर मिळणाऱ्या संख्येसाठी एकूण आठच शक्‍यता आहेत हे समजलं, मग त्या शक्‍यता तू तपासल्यास,’ बाईंनी तिला शाबासकी दिली तेव्हा सतीशनं त्याचं निरीक्षण नोंदवलं, ‘वजाबाकी केल्यावर मिळणाऱ्या तीन अंकी संख्येत मधल्या जागेवर नेहमी ९ येतो तो का?’ 

‘त्याचं उत्तरदेखील शीतलच्या ९९(अ - क) यावरून मिळेल. ९९ ला १ ते ९ यापैकी कोणत्याही अंकानं गुणलं, तर गुणाकारात दशकाच्या जागी नेहमी ९ येतो. दशमान पद्धतीनं संख्या लिहिताना ९ साठी काही खास गमतीचे गुणधर्म दिसतात. ते समजण्यासाठी ९ चा पाढा लिहून पाहा बरं!’ बाईंनी असं म्हणताच हर्षानं चटकन तो लिहून दाखवला... 

‘यातली गंमत पाहा, ९ एके ९ मध्ये गुणाकारातील ९ च्या आधी दशकाचं शून्य लिहिलं, की गंमत लवकर ध्यानात येईल. हा पाढा तयार करताना, पाढ्यात एकेक पायरी पुढं जाताना दशक एकानं वाढवायचं आणि एकक एकानं कमी करायचं. आता ९९ चा पाढा तयार करून पाहा.. यात गुणाकारातील पहिली संख्या ९९ ऐवजी ०९९ अशी लिहा. या पाढ्यातदेखील गंमत दिसेल. 
बाईंनी सांगितला तसा पाढा सतीशनं तयार केला... 

तो म्हणाला, ‘कोड्यातील वजाबाकीत मधली संख्या नेहमी ९ का येते ते यावरून समजलं.’ 

‘आता पाहा की ९९ x १ ही संख्या ९९ x १० च्या उलट क्रमानं लिहिली आहे. ९९ x २ ही संख्या ९९ x ९ च्या उलट क्रमात आहे. तशाच ९९ x ३ आणि ९९ x ८, ९९ x ४ आणि ९९ x ७, ९९ x ५ आणि ९९ x ६ या जोड्या आहेत. प्रत्येक जोडीची बेरीज ९९ x ११ किंवा १०८९ हीच आहे. आता समजलं का आपल्या कोड्याचं नेहमी १०८९ हेच उत्तर का येतं ते?’ बाईंनी विचारलं. 

थोडा विचार करून हर्षा म्हणाली, ‘हो. ९९ च्या पाढ्यावरून समजलं आपल्या कोड्याचं उत्तर १०८९ हेच का येतं ते! ९ च्या पाढ्यावरूनदेखील असंच कोडं करता येईल का?’ ‘का नाही? तुम्ही प्रयत्न करून ९ चा पाढा वापरून असंच गमतीचं कोडं तयार करून आणा,’ मालतीबाईंनी संमती दिली.

संबंधित बातम्या