जादूचा चौरस 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 5 ऑगस्ट 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

आज सतीश एक मजेदार चौरस घेऊन आला, तो असा होता. 

‘यात काय गंमत आहे पाहा,’ तो म्हणाला. त्यातली गंमत लक्षात यायला वेळ लागला नाही. हर्षा म्हणाली, ‘यात प्रत्येक आडव्या ओळीतल्या संख्यांची एकच बेरीज १५ अशी येते आहे.’ नंदूनं दाखवलं, ‘उभ्या ओळीतल्या संख्यांची बेरीजदेखील १५ च आहे!’ तर सतीश म्हणाला, ‘आणि तिरक्‍या कर्णांच्या वरच्या संख्यांची बेरीजसुद्धा तेवढीच आहे!’ ‘खरंच ही मोठी गंमत आहे. हे पूर्वीपासून अनेकांना जाणवलं आहे. काही लोकांना तर यात काही तरी गूढ दिसलं आणि त्यांनी या चौकोनात काही तरी जादू आहे असाही तर्क केला.’ बाई सांगू लागल्या. यात १ ते ९ अशा नऊ संख्या आहेत, म्हणून काही लोकांनी हे नवग्रह आहेत असं मानून या चौकोनाची नवग्रह चौकोन समजून पूजादेखील केली. अनेक जुन्या संस्कृतींमधून हा जादूचा चौकोन लोकांचं मनोरंजन करत आला आहे. बाबिलोनियन, हिंदू, चीनी अशा अनेक संस्कृतींमधून त्याला विशेष स्थान आहे.’ 

‘हा तीन गुणिले तीन अशा नऊ तुकड्यांचा चौरस आहे. असाच चार गुणिले चार याप्रमाणं सोळा संख्यांचा चौकोन करता येतो का?’ शीतलनं विचारलं. ‘हो, तर! तसाही चौकोन असतो. पण आधी १ ते १६ अशा संख्या सोळा तुकड्यात भरल्या, तर प्रत्येक ओळीतील संख्यांची बेरीज किती असेल ते पाहूया. उदाहरणासाठी आपल्या पहिल्या चौकोनात पाहूया. १ ते ९ या संख्यांची एकूण बेरीज आहे ४५ आणि ती तीन ओळीत सारखी विभागली, तर प्रत्येक ओळीत १५ अशी ती येते ना? आता १ ते १६ या संख्यांची एकूण बेरीज किती बरं?’ सतीश म्हणाला, ‘त्याचा नियम शिकवला आहे आम्हाला, १+२+३ +... अशी न या पूर्णांकापर्यंत बेरीज केली, तर ती होते न(न+१)/२. म्हणून १ ते ९ संख्यांची बेरीज ९ गुणिले १० भागिले २ म्हणजे ४५ आहे, तर १ ते १६ या संख्यांची बेरीज १६ गुणिले १७ भागिले २, म्हणजे सतरा अठ्ठे एकशे छत्तीस!’ ‘शाबास!’ बाई म्हणाल्या, ‘तुला सतराचा पाढा पाठ आहे म्हणून शाबासकी. आम्ही हा पाढा पाठ करताना सतरा अठ्ठे छत्तीसासे असं पाठ केलं होतं.’ ‘ही कुठली भाषा? छत्तीसासे म्हणजे काय?’ नंदूनं विचारलं. ‘जुन्या मराठी संख्यानामात संस्कृतचा जास्त प्रभाव होता. संस्कृतमध्ये ‘अन्कानाम वामतो गति’ या नियमाप्रमाणं संख्येतले अंक क्रमानं डावीकडं वाचत जात. आधी एकक स्थानाचा अंक, मग दशक स्थानाचा, नंतर शतक स्थानाचा अंक ही पद्धत होती; छत्तीसासेमध्ये आधी छत्तीस, त्यातही प्रथम सहाचा छ, मग तीस आणि मग शंभराचा शे त्याचा झाला से.’ ‘छत्तीसासे म्हणजे एकशे छत्तीस हे समजून घ्यायला हवं!’ हर्षा म्हणाली. ‘आम्ही तीस पर्यंतचे पाढे पाठ केले होते. त्यात मजेदार संख्या यायच्या. बारा नव्वे अष्टोदरसे, सतरासक दुहोदरसे, तेवीस नव्वे सातन्दोन, सत्तावीस अठ्ठे सोळनदोन अशा! या सातन्दोन मध्ये सात हे एकक, दशक नाहीच पण दोन हा शतक म्हणजे संख्या आहे दोनशे सात!’ बाईंचं बोलणं ऐकून नंदू म्हणाला, ‘बरं झालं आम्हाला असे पाढे आणि अशा संख्या नाही शिकाव्या लागत! किती किती विचित्र नावं लक्षात ठेवायची?’ बाई म्हणाल्या, ‘बरोबर आहे तुझं. आता तुलनेनं सोपी पद्धत आहे. मोठ्या स्थानावरच्या अंकापासून सुरुवात करून क्रमाने उजवीकडचा लहान स्थानावरचा अंक वाचायचा. ८५२३ म्हणजे आठ हजार पाचशे तेवीस. त्यातही तेवीसपेक्षा वीसतीन सोपं वाटू शकतं.’ 

‘आपण १६ तुकड्यांचा चौरस तयार करणार होतो ना?’ शीतलनं आठवण करून दिली. ‘होय! त्यातल्या सोळा संख्यांची बेरीज आली एकशे छत्तीस, तिला चारनं भागलं की प्रत्येक ओळीची बेरीज येते ३४! म्हणजे १ ते १६ या संख्या सोळा तुकड्यांच्या चौरसात अशा भरायच्या की प्रत्येक उभ्या आणि आडव्या ओळीची बेरीज ३४ येते आणि कर्णावरील बेरीजदेखील ३४ हवी. असे दोन चौकोन माझ्याजवळ आहेत,’ असं म्हणून बाईंनी एका पुस्तकातून हे चौकोन काढून दाखवले. 

‘चार गुणिले चारचे असे जादूचे बरेच चौकोन आहेत तर! आपला पहिला ९ तुकड्यांचा चौकोन भरायचे किती प्रकार आहेत?’ हर्षानं विचारलं. ‘ते तपासायला सोपं आहे. तुम्हाला काही मोजणीचे प्रकार शिकवले आहेत. हवे तर ते वापरून सांगा ९ तुकड्यांचे किती वेगळे जादूचे चौकोन आहेत ते!’ बाईंनी मुलांना काम देऊन ठेवलं.

संबंधित बातम्या